Ich mache es mit meiner Switch folgendermaßen (lässt sich eigentlich 1 zu 1 auf eine PS4 übertragen):
Switch per HDMI an meine Elgato Game Capture HD60 Pro. Diese ist gefühlt latenzfrei, wahrscheinlich gibt es aber doch noch etwas Versatz von ein paar Millisekunden.
In OBS hab ich dann die Elgato als Videoaufnahmegerät hinzugefügt und den Audioausgabemodus in dem Gerät bei OBS "Desktop-Audioausgabe (DirectSound)" eingestellt. Somit wird mir der Sound der Konsole als Desktopsound wie Spotify oder andere Programme ausgegeben.