Suche Instagram Tool, das automatisch postet, wenn ich mit dem Stream online bin.

Gibt es nicht, soweit ich weiß. Die Schnittstellen von Instagram sind sehr limitiert und mittlerweile kann man da kaum noch was machen.
Ich nutze Instagram nicht für meinen Stream, kann daher nicht viel dazu sagen. Würde an deiner Stelle einfach ein paar vorgefertigte Screens in 9:16 Auflösung vorbereiten und die dann immer wieder posten. Das ist ja dann echt keine Arbeit. Im Idealfall auch nicht erst, wenn du online bist, sondern schon paar Stunden vorher, weil man nicht benachrichtigt wird, wenn eine Story online gestellt wurde. Das heißt, deine Follower kriegen das ohnehin wahrscheinlich nicht mal mit oder erst etwas später.
Schau in den Insights (geht, sobald du ein Business-Profil hast) nach, wann deine Zielgruppe in der Regel online ist und hau da circa ne halbe Stunde vorher die Story rein und mach auf den kommenden Stream aufmerksam.

Finde es sowieso besser, wenn du jedes mal selbst eine Story machst. Bringt Abwechslung rein. Die Instagram API erlaubt eigentlich aktuell nur das posten von Beiträgen. Also ich folge 2-3 Partnern auf Instagram und die machen jedes mal ein neues Bild (Selfie, Bild vom Monitor,... sowas) - Kannst natürlich auch das aktuelle Spiel als Cover nehmen, dann weiß man schon, was einen erwartet, wenn du öfter was anderes Spielst